第五章含磁耦合器件电路

1. 磁耦合与互感元件.

磁耦合(互感现象);一次侧与二次侧.

同名端(异名端):客观存在,不能随意假定,而参考方向是可以随意假定的.

1.1. 互感磁链与电流关系 \(\Psi \sim i\)

\[\begin{bmatrix}L_1 & \pm M\\ \pm M & L_2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}i_1 \\ i_2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\Psi_1 \\ \Psi_2\end{bmatrix}\] \(M ) 前 \(\pm\) 正负由电流相对同名端方向决定.

1.2. 互感电压与电流关系

由法拉第电磁感应定律可得: \[\begin{bmatrix}L_1 & \pm M\\ \pm M & L_2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\frac{\mathrm{d}i_1}{\mathrm{d}t} \\ \frac{\mathrm{d}i_2}{\mathrm{d} t}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}u_1 \\ u_2\end{bmatrix}\] yet again \(M ) 前 \(\pm\) 正负由电流相对同名端方向决定.

1.3. 互感储能:二次型表达

\[W_m = \frac{1}{2}\begin{bmatrix}I_1 & I_2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}L_1 & \pm M\\ \pm M & L_2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}I_1 \\ I_2\end{bmatrix}\] 由于能量非负, 二次型矩阵显然正定, 有: \(L_1L_2 \ge M^2\), 可得:

耦合系数 \(k\): \[ k = \frac{M}{\sqrt{L_1 L_2}} = \sqrt{\frac{\Psi_{21}\Psi_{12}}{\Psi_{11}\psi_{22}}} \] k 的大小表示了线圈磁耦合的紧密程度.

2. 互感元件的等效化简(互感元件需有公共端口):消去互感影响

2.1. 串联等效化简:

正串 (顺接): \(L_{eq} = L_1 + L_2 + 2M\)
反串 (逆接): \(L_{eq} = L_1 + L_2 - 2M\)

2.2. 三端口(包含并联情况)等效化简:

同名端 相连: \[\begin{cases}L_a = M\\ L_b = L_1 - M\\ L_c = L_2 - M\end{cases}; L_{eq} = \frac{L_1 L_2 - M^2}{L_1 + L_2 - 2M}\]
异名端 相连: \[\begin{cases}L_a = -M\\ L_b = L_1 + M\\ L_c = L_2 + M\end{cases}; L_{eq} = \frac{L_1 L_2 - M^2}{L_1 + L_2 + 2M}\]

3. 含互感元件的正弦交流电路

由相量变换得: \[j\omega\begin{bmatrix}L_1 & \pm M\\ \pm M & L_2\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\dot{I}_1\\ \dot{I}_2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\dot{U}_1\\ \dot{U}_2\end{bmatrix} \] 另外,可用等效化简消去互感,分析含互感电路.

从一次侧看去的等效阻抗: \[ Z_{eq} = \frac{(\omega M)^2}{Z_2 + j\omega L_2} + j\omega L_1 \]

引入阻抗: \[ Z_{r1} = \frac{(\omega M)^2}{Z_2 + j\omega L_2} \]
引入电阻: \(R_{r1} = \Re Z_{r1}\)
引入电抗: \(X_{r1} = \Im Z_{r1}\)

含互感元件电路不便使用自阻扛与互阻抗来列写回路电流方程.

含互感元件电路中,支路电流法比回路电流法更可取.

4. 电磁变压器

理想变压器: 匝数比为 \(n: 1\)

无漏磁
无铜损
铁心磁导率 \(\mu\rightarrow\infty\)

可得

\begin{cases} u_1 = nu_2 \\ i_1 = -\frac{1}{n}i_2 \end{cases}

=> 从一次侧看等效阻抗 \(Z_{eq} = n^2 Z_L\)

实际变压器有额定工作频率.

第五章 含磁耦合器件电路

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